Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Известно, что АЕ = 12 см, AQ = QB, ВМ = МС, СК = KD, DR = RE, МК = 4 см (рис. 30). Найдите длину отрезка QR.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства параллелограмма.
Из условия задачи известно, что AQ = QB, а значит, отрезок AB является серединой отрезка PQ. Также известно, что ВМ = МС, СК = KD и DR = RE, что говорит о том, что параллелограмм ABCD является ромбом.
Таким образом, мы можем записать следующие равенства:
AB = PQ/2
BC = CD = AD = AE = 12 см
Также из ромба ABCD следует, что диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся пополам. То есть, AO = CO = BO = DO.
Рассмотрим треугольник AOM. Он является прямоугольным, так как угол AOM равен 90 градусов (так как AC и BD являются диагоналями ромба). Из этого следует, что:
OM^2 + AM^2 = AO^2
Заменим OM на MC — MO (так как МС = ВМ) и AM на AQ — QM (так как AQ = QB):
(MC — MO)^2 + (AQ — QM)^2 = AO^2
Раскроем скобки и упростим:
MC^2 — 2MC*MO + MO^2 + AQ^2 — 2AQ*QM + QM^2 = AO^2
Так как MC = CD = 12 см и MO = BC/2 = 6 см, а также AQ = QB и QM = MP/2 (так как PQ = 2AB), то мы можем записать:
144 — 2*12*6 + 36 + PQ^2/4 — 2*PQ^2/8 + MP^2/4 = AO^2
Упростим выражение:
144 — 144 + 36 + PQ^2/4 — PQ^2/4 + MP^2/4 = AO^2
MP^2/4 = AO^2
Так как AO = CO = BO = DO, то MP = QR (так как PQ = 2AB и AB = 12 см, то PQ = 24 см). Таким образом, мы получаем:
QR^2/4 = AO^2
QR/2 = AO
QR = 2AO
Так как AO = AC/2, а AC = BD (так как AC и BD являются диагоналями ромба), то мы можем записать:
QR = 2BD/2
QR = BD
Таким образом, мы получаем, что длина отрезка QR равна длине диагонали ромба ABCD. Чтобы найти ее длину, нам нужно применить теорему Пифагора к треугольнику AOM:
OM^2 + AM^2 = AO^2
6^2 + (12 — 4)^2 = AO^2
36 + 64 = AO^2
AO^2 = 100
AO = 10 см
Таким образом, мы получаем, что длина отрезка QR равна длине диагонали ромба ABCD, которая равна 2AO, то есть 20 см.
