Вопрос школьника
Известно, что число а рациональное, а число b иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число:
а) а + b; б) а — b?
Ответ от учителя
а) Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом. Для доказательства этого предположим, что а + b является рациональным числом. Тогда мы можем записать:
а + b = p/q,
где p и q — целые числа, причем q ≠ 0. Тогда мы можем выразить b:
b = p/q — a.
Так как p/q и а — рациональные числа, то их разность тоже будет рациональным числом. Таким образом, b — рациональное число, что противоречит условию задачи. Значит, а + b — иррациональное число.
б) Разность рационального и иррационального чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом. Например, если а = 3 и b = √2, то а — b = 3 — √2 — иррациональное число. Однако, если а = 3 и b = √9 = 3, то а — b = 0 — рациональное число. Таким образом, ответ на вопрос б) зависит от конкретных значений а и b.
