Вопрос школьника
Известно, что каждое из целых чисел а и b не делится на 7, а их сумма делится на 7. Делится ли на 7 число: а) 2а + b; б) а — b?
Ответ от учителя
Дано, что каждое из чисел а и b не делится на 7, а их сумма делится на 7. Это означает, что существует такое целое число k, что:
а + b = 7k
Теперь рассмотрим два выражения:
а) 2а + b
2а + b = а + а + b = а + (а + b)
Заменим а + b на 7k:
2а + b = а + 7k
Так как а + b делится на 7, то а и (а + b) имеют одинаковые остатки при делении на 7. Значит, а также делится на 7, и 2а + b также делится на 7.
б) а — b
Так как а и b не делятся на 7, то их остатки при делении на 7 могут быть только 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Рассмотрим все возможные комбинации остатков:
— остатки а и b равны 1 и 6 соответственно. Тогда а — b = -5, что не делится на 7.
— остатки а и b равны 2 и 5 соответственно. Тогда а — b = -3, что не делится на 7.
— остатки а и b равны 3 и 4 соответственно. Тогда а — b = -1, что не делится на 7.
— остатки а и b равны 4 и 3 соответственно. Тогда а — b = 1, что не делится на 7.
— остатки а и b равны 5 и 2 соответственно. Тогда а — b = 3, что не делится на 7.
— остатки а и b равны 6 и 1 соответственно. Тогда а — b = 5, что не делится на 7.
Таким образом, ни одна из комбинаций остатков не приводит к тому, что а — b делится на 7. Значит, ответ на вопрос б) — нет, а — b не делится на 7.
