Вопрос школьника
Известны координаты двух противоположных вершин квадрата ABCD: А(2; -2) и С(-2; 2). Найдите координаты двух других вершин. Сколько решений имеет задача?
Ответ от учителя
Чтобы найти координаты двух других вершин квадрата ABCD, нужно знать, что все стороны квадрата равны между собой и перпендикулярны. Также известно, что диагонали квадрата равны и пересекаются в центре квадрата.
Из этого следует, что точки B и D должны находиться на одинаковом расстоянии от точек A и C, а также находиться на одной из двух прямых, проходящих через центр квадрата.
Найдем координаты центра квадрата. Для этого найдем среднее арифметическое координат вершин A и C по каждой оси:
x_среднее = (2 — 2) / 2 = 0
y_среднее = (-2 + 2) / 2 = 0
Таким образом, центр квадрата находится в точке (0; 0).
Теперь найдем расстояние между точками A и B (или C и D), чтобы определить, на каком расстоянии от точек A и C должны находиться точки B и D. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:
AB = sqrt((x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2)
AB = sqrt((x_B — 2)^2 + (y_B + 2)^2)
AC = sqrt((x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2)
AC = sqrt((x_C + 2)^2 + (y_C — 2)^2)
Так как AB = AC (все стороны квадрата равны), то можно записать:
(x_B — 2)^2 + (y_B + 2)^2 = (x_C + 2)^2 + (y_C — 2)^2
Раскроем скобки и упростим:
x_B^2 — 4x_B + 4 + y_B^2 + 4y_B + 4 = x_C^2 + 4x_C + 4 + y_C^2 — 4y_C + 4
x_B^2 + y_B^2 — 4x_B + 4y_B = x_C^2 + y_C^2 + 4x_C — 4y_C
Таким образом, точки B и D должны находиться на одной из двух прямых, проходящих через центр квадрата и имеющих уравнения:
y = x
y = -x
Также из условия равенства расстояний между точками A и B (или C и D) можно записать:
(x_B — 2)^2 + (y_B + 2)^2 = (x_C + 2)^2 + (y_C — 2)^2
x_B^2 — 4x_B + 4 + y_B^2 + 4y_B + 4 = x_C^2 + 4x_C + 4 + y_C^2 — 4y_C + 4
x_B^2 + y_B^2 — 4x_B + 4y_B = x_C^2 + y_C^2 + 4x_C — 4y_C
x_B^2 + y_B^2 — 4x_B + 4y_B — x_C^2 — y_C^2 — 4x_C + 4y_C = 0
(x_B — x_C)(x_B + x_C — 4) + (y_B — y_C)(y_B + y_C + 4) = 0
Таким образом, точки B и D должны находиться на одной из двух прямых, проходящих через центр квадрата и имеющих уравнения:
x + y = 0
x — y = 0
Решая систему уравнений, получаем координаты точек B и D:
x_B = 0, y_B = 4
x_D = 4, y_D = 0
Таким образом, координаты двух других вершин квадрата ABCD: B(0; 4) и D(4; 0).
Задача имеет единственное решение, так как квадрат однозначно определяется координатами двух противоположных вершин.
