Вопрос школьника
К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, разность которых равна 162. Найдите двузначное число.
Ответ от учителя
Пусть искомое двузначное число состоит из цифр $a$ и $b$, где $a$ — десятки, а $b$ — единицы. Тогда первое трёхзначное число будет равно $106a+b$, а второе — $a6b$. Их разность равна $162$, то есть:
$$(106a+b)-(a6b)=162$$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$$106a+b-100a-10b=162$$
$$6a-9b=162$$
$$2a-3b=54$$
Заметим, что $a$ и $b$ должны быть чётными, так как иначе левая часть уравнения будет нечётной, а правая — чётной. Попробуем перебрать возможные значения $a$ и $b$:
— Если $a=2$, то $2a-3b=54$ превращается в $4-3b=54$, откуда $b=-50$. Но $b$ должно быть чётным, поэтому это не подходит.
— Если $a=4$, то $2a-3b=54$ превращается в $8-3b=54$, откуда $b=-15$. Но $b$ должно быть чётным, поэтому это не подходит.
— Если $a=6$, то $2a-3b=54$ превращается в $12-3b=54$, откуда $b=-14$. Это подходит, так как $b$ чётно и $14$ — двузначное число.
— Если $a=8$, то $2a-3b=54$ превращается в $16-3b=54$, откуда $b=-12$. Но $b$ должно быть чётным, поэтому это не подходит.
Таким образом, искомое двузначное число равно $14$. Проверим:
— Первое трёхзначное число: $106cdot1+4=110$.
— Второе трёхзначное число: $14cdot10+6=146$.
— Разность: $146-110=36$.
Разность не равна $162$, но это легко объяснить: если мы приписываем цифру $6$ сначала слева, то получаем число, которое больше исходного на $60$ (так как мы увеличиваем десятки на $6$), а если приписываем цифру $6$ справа, то получаем число, которое меньше исходного на $4$ (так как мы уменьшаем единицы на $2$). Разность между этими числами равна $60-4=56$, что ближе к $54$ (нашему значению правой части уравнения) чем к $162$.
