Вопрос школьника
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные (рис. 102). Периметры треугольников, которые эти касательные отсекают от данного треугольника, равны Р1, Р2 и Р3 Найдите периметр треугольника ABC.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC и вписанную в него окружность. Пусть точки касания окружности с сторонами треугольника обозначены как D, E и F (см. рисунок).
Так как каждая касательная к окружности является касательной в точке касания, то AD = AF, BE = BD и CE = CF.
Также заметим, что каждый из треугольников ADF, BED и CFE является прямоугольным, так как сторона, соединяющая вершину треугольника с точкой касания окружности, является радиусом окружности и перпендикулярна к стороне треугольника.
Теперь рассмотрим периметр треугольника ADF. Он равен сумме длин сторон AD, DF и AF. Заметим, что сторона DF является разностью сторон AB и BD (так как BD = BE), то есть DF = AB — BD. Аналогично, AF = AC — CF. Подставляя эти выражения, получаем:
Периметр ADF = AD + AB — BD + AC — CF + AF = AB + AC — (BD + CF)
Аналогично, периметры треугольников BED и CFE равны:
Периметр BED = AB + BC — (AE + CD)
Периметр CFE = AC + BC — (AF + BE)
Теперь сложим все три выражения:
Периметр ADF + Периметр BED + Периметр CFE = 2(AB + AC + BC) — (AD + BE + CF + CD + AE + AF)
Заметим, что сумма AD + BE + CF равна полупериметру треугольника ABC, так как каждая из этих величин равна разности полупериметра треугольника и соответствующей стороны. Аналогично, сумма CD + AE + AF также равна полупериметру треугольника ABC.
Таким образом, мы получаем:
Периметр треугольника ABC = (Периметр ADF + Периметр BED + Периметр CFE) + (AD + BE + CF + CD + AE + AF)
= 2(AB + AC + BC) — 2(полупериметр треугольника ABC)
= 2(AB + AC + BC — полупериметр треугольника ABC)
Таким образом, чтобы найти периметр треугольника ABC, нам нужно знать длины его сторон и полупериметр. Если же даны периметры треугольников, которые отсекают касательные, то мы можем выразить полупериметр через эти периметры и подставить в формулу для периметра треугольника ABC.
