Вопрос школьника
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные (рис. 37.6). Периметры отсечённых треугольников равны р , р2, р3. Найдите периметр данного треугольника.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC и вписанную в него окружность. Пусть точки касания окружности с сторонами треугольника обозначены как D, E и F (см. рисунок).
Так как каждая из касательных к окружности является касательной в точке касания, то AD = AF, BE = BD и CE = CF. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, а радиус вписанной окружности как r.
Тогда периметр треугольника ABC равен a + b + c, а площадь треугольника можно выразить как S = (a+b+c)r/2.
Рассмотрим отсеченный треугольник AEF. Его периметр равен р, а площадь можно выразить как S1 = (р/2)(a+AD+AF) = (р/2)(a+2AD). Заметим, что треугольник AEF является прямоугольным, так как AD является радиусом вписанной окружности и перпендикулярен стороне AB. Таким образом, по теореме Пифагора, AD = sqrt(r^2 — (a/2)^2).
Аналогично, для отсеченных треугольников BDF и CDE можно выразить их площади S2 и S3, а также длины отрезков BD и CD через радиус вписанной окружности и стороны треугольника.
Теперь можно выразить периметр треугольника ABC через периметры отсеченных треугольников и радиус вписанной окружности:
a + b + c = 2(AD + BD + CD) = 2(sqrt(r^2 — (a/2)^2) + sqrt(r^2 — (b/2)^2) + sqrt(r^2 — (c/2)^2))
Таким образом, если известны периметры отсеченных треугольников и радиус вписанной окружности, можно вычислить периметр треугольника ABC.
