Вопрос школьника
К трехзначному числу слева приписали цифру 5 и из полученного четырёхзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в 9 раз. Найдите это трёхзначное число.
Ответ от учителя
Пусть искомое трехзначное число равно $abc$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры числа. Тогда после приписывания цифры 5 слева получим число $5abc$. Вычитая из него 3032, получим разность:
$$5abc — 3032$$
По условию, эта разность больше исходного трехзначного числа в 9 раз:
$$5abc — 3032 = 9 cdot abc$$
Раскроем скобки:
$$5a cdot 100 + 5b cdot 10 + 5c — 3032 = 9a cdot 100 + 9b cdot 10 + 9c$$
Упростим выражение:
$$496a + 85b — 3032 = 9c$$
Заметим, что левая часть выражения делится на 8, а правая часть — нет. Значит, исходное трехзначное число $abc$ должно быть четным. Попробуем перебрать все четные трехзначные числа и найти среди них такое, которое удовлетворяет уравнению выше.
При $a=2$ получаем:
$$496 cdot 2 + 85b — 3032 = 9c$$
$$85b — 1040 = 9c$$
Правая часть должна быть кратна 9, значит, $85b$ должно быть сравнимо с 4 по модулю 9. Но это невозможно, так как числа, сравнимые с 4 по модулю 9, не могут быть произведением 85 на целое число. Аналогично, при $a=4$ и $a=6$ решений нет.
При $a=8$ получаем:
$$496 cdot 8 + 85b — 3032 = 9c$$
$$85b + 2000 = 9c$$
Правая часть должна быть кратна 9, значит, $85b$ должно быть сравнимо с 7 по модулю 9. Это возможно только при $b=5$. Подставляем $a=8$ и $b=5$ в уравнение:
$$496 cdot 8 + 85 cdot 5 — 3032 = 9c$$
$$c=7$$
Итак, искомое трехзначное число равно 857. Проверим:
$$5 cdot 857 — 3032 = 4285 — 3032 = 1253$$
$$9 cdot 857 = 7713$$
$$1253 = 9 cdot 857 — 6 cdot 100$$
Ответ верный.
