Вопрос школьника
К железной проволоке длиной l=50 см и диаметром d=1 мм привязана гиря массой m=1 кг. С какой частотой n можно равномерно вращать в вертикальной плоскости такую проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать формулу для расчета центробежной силы:
Fц = mω²r,
где Fц — центробежная сила, m — масса груза, ω — угловая скорость вращения, r — радиус вращения.
Радиус вращения можно найти, зная длину проволоки и угол отклонения от вертикали:
r = l/2sin(θ/2),
где θ — угол отклонения от вертикали.
Также необходимо учесть, что проволока должна выдерживать не только центробежную силу, но и силу тяжести груза:
Fт = mg,
где Fт — сила тяжести.
Чтобы проволока не разорвалась, центробежная сила не должна превышать предел прочности материала проволоки:
Fц ≤ σS,
где σ — предел прочности материала проволоки, S — площадь поперечного сечения проволоки.
Таким образом, можно записать уравнение для расчета частоты вращения:
mω²r ≤ σS — mg
mω²(l/2sin(θ/2)) ≤ σS — mg
ω² ≤ (σS — mg)/(ml/2sin(θ/2))
ω ≤ √[(σS — mg)/(ml/2sin(θ/2))]
Подставляя числовые значения, получаем:
ω ≤ √[(400 МПа * π * (0,5 мм)²/4 — 1 кг * 9,81 м/с²)/(1 кг * 0,5 м/2sin(0,1 рад/2))] ≈ 31,5 рад/с
Частота вращения будет равна:
n = ω/2π ≈ 5 Гц
Таким образом, чтобы проволока с гирей не разорвалась, ее нужно вращать с частотой около 5 Гц.
