Вопрос школьника
Как найти объём правильной треугольной (четырёхугольной) пирамиды, у которой известны:
а) сторона основания и высота;
б) сторона основания и боковое ребро;
в) сторона основания и двугранный угол при основании;
г) боковое ребро и его угол с основанием?
Ответ от учителя
а) Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды, у которой известны сторона основания и высота, нужно воспользоваться формулой:
V = (1/3) * S * h,
где V — объем пирамиды, S — площадь основания, h — высота пирамиды.
Для правильной треугольной пирамиды площадь основания можно найти по формуле:
S = (a^2 * √3) / 4,
где a — длина стороны основания.
Таким образом, объем пирамиды будет равен:
V = (1/3) * (a^2 * √3) / 4 * h.
б) Если известны сторона основания и боковое ребро, то можно воспользоваться формулой:
V = (1/3) * S * l,
где l — длина бокового ребра.
Для правильной треугольной пирамиды длину бокового ребра можно найти по формуле:
l = (a * √3) / 2,
где a — длина стороны основания.
Таким образом, объем пирамиды будет равен:
V = (1/3) * (a^2 * √3) / 4 * ((a * √3) / 2).
в) Если известны сторона основания и двугранный угол при основании, то можно воспользоваться формулой:
V = (1/3) * S * h,
где h — высота пирамиды.
Для правильной треугольной пирамиды площадь основания можно найти по формуле:
S = (a^2 * √3) / 4,
где a — длина стороны основания.
Высоту пирамиды можно найти по формуле:
h = (a * √3 * tan(α/2)) / 2,
где α — двугранный угол при основании.
Таким образом, объем пирамиды будет равен:
V = (1/3) * (a^2 * √3) / 4 * ((a * √3 * tan(α/2)) / 2).
г) Если известны боковое ребро и его угол с основанием, то можно воспользоваться формулой:
V = (1/3) * S * l,
где S — площадь основания, l — длина бокового ребра.
Для правильной треугольной пирамиды площадь основания можно найти по формуле:
S = (a^2 * √3) / 4,
где a — длина стороны основания.
Длину бокового ребра можно найти по формуле:
l = a * sin(β),
где β — угол между боковым ребром и основанием.
Таким образом, объем пирамиды будет равен:
V = (1/3) * (a^2 * √3) / 4 * (a * sin(β)).
