Вопрос школьника
Как расположены две окружности друг относительно друга, если их центром гомотетии является: а) центр одной из окружностей; б) точка, принадлежащая одной из данных окружностей?
Ответ от учителя
Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждая точка умножается на определенный коэффициент, называемый коэффициентом гомотетии. Если коэффициент гомотетии положительный, то гомотетия увеличивает расстояние между точками, а если отрицательный, то уменьшает.
а) Если центром гомотетии является центр одной из окружностей, то это означает, что коэффициент гомотетии равен единице. Таким образом, гомотетия не изменяет размеры окружностей, но может изменить их положение. Если две окружности имеют одинаковый радиус и центр гомотетии совпадает с центром одной из окружностей, то они будут совмещаться. Если центр гомотетии находится на линии, соединяющей центры окружностей, то окружности будут расположены на одной прямой. В остальных случаях окружности будут расположены относительно друг друга так, что их центры и радиусы будут соответственно параллельны и пропорциональны.
б) Если точка, принадлежащая одной из данных окружностей, является центром гомотетии, то коэффициент гомотетии будет равен отношению радиусов окружностей. Если радиусы окружностей равны, то коэффициент гомотетии будет равен единице, и окружности будут совмещаться. Если радиусы различны, то окружности будут расположены относительно друг друга так, что их центры будут лежать на одной прямой, проходящей через точку гомотетии, а радиусы будут пропорциональны коэффициенту гомотетии. Если коэффициент гомотетии отрицательный, то окружности будут расположены относительно друг друга на противоположных сторонах точки гомотетии.
