Вопрос школьника
Какое наименьшее количество множителей произведения всех натуральных чисел от 1 до 24 нужно зачеркнуть, чтобы произведение оставшихся чисел было точным кубом?
Ответ от учителя
Произведение всех натуральных чисел от 1 до 24 можно записать в виде $1cdot2cdot3cdotldotscdot24$. Заметим, что каждое из чисел от 1 до 24 можно представить в виде произведения простых чисел. Например, число 24 можно представить в виде $2^3cdot3^1$. Таким образом, произведение всех чисел от 1 до 24 можно представить в виде произведения всех простых чисел от 2 до 23 в некоторых степенях.
Чтобы произведение оставшихся чисел было точным кубом, необходимо, чтобы каждое простое число от 2 до 23 входило в произведение в степени, кратной 3. Таким образом, мы должны зачеркнуть все простые числа от 2 до 23, кроме тех, которые входят в произведение в степени, кратной 3.
Простые числа от 2 до 23: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Простые числа, входящие в произведение в степени, кратные 3: 2 (в степени 3), 3 (в степени 2), 5 (в степени 1), 7 (в степени 1), 11 (в степени 1), 13 (в степени 1), 17 (в степени 1), 19 (в степени 1), 23 (в степени 1).
Таким образом, мы должны зачеркнуть все простые числа от 2 до 23, кроме чисел 2 (в степени 3) и 3 (в степени 2). Итого, мы должны зачеркнуть $8+1=9$ множителей.
