Вопрос школьника
Какой вид имеет четырёхугольник, если центр вписанной в него окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей?
Ответ от учителя
Если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения его диагоналей, то данный четырехугольник является трапецией.
Для доказательства этого факта рассмотрим следующую схему:
Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, в который вписана окружность с центром O. Пусть точка пересечения диагоналей M является также центром окружности, вписанной в треугольник ABD. Тогда, по свойству вписанной окружности, угол AOB равен половине суммы углов ABD и ACD.
Также из свойств вписанной окружности следует, что угол AOB равен углу AMB. Следовательно, углы ABD и ACD равны между собой, то есть AB || CD.
Таким образом, мы доказали, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения его диагоналей, то данный четырехугольник является трапецией.
