Вопрос школьника
Какую наименьшую энергию Wmin (в электроволнах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов появились все линии всех серий спектра водорода? Какую наименьшую скорость vmin должны иметь эти электроны?
Ответ от учителя
Для того чтобы возбудить все линии всех серий спектра водорода, электроны должны иметь достаточную энергию для перехода на все возможные энергетические уровни атома водорода. Энергия, необходимая для перехода с нижнего уровня на верхний, определяется формулой Ридберга:
E = -Rhc/λ + Rhc/n^2
где R — постоянная Ридберга, h — постоянная Планка, c — скорость света, λ — длина волны излучения, n — номер энергетического уровня.
Для нахождения наименьшей энергии Wmin, необходимой для возбуждения всех линий всех серий спектра водорода, нужно найти сумму энергий всех возможных переходов. Для этого можно воспользоваться формулой Ридберга и таблицей энергетических уровней атома водорода.
Для серии Лаймана (n=1) возможны переходы на уровни n=2,3,4,… бесконечность. Для серии Бальмера (n=2) возможны переходы на уровни n=3,4,5,… бесконечность. Для серии Пашена (n=3) возможны переходы на уровни n=4,5,6,… бесконечность. И так далее для всех серий спектра водорода.
Суммируя энергии всех возможных переходов, получим:
Wmin = E(1->2) + E(1->3) + E(1->4) + … + E(2->3) + E(2->4) + … + E(3->4) + …
Для удобства расчетов можно воспользоваться формулой для суммы обратных квадратов:
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + … = π^2/6
Тогда сумма энергий всех возможных переходов будет равна:
Wmin = Rhc(π^2/6 — 1/1^2 — 1/2^2 — 1/3^2 — …)
Wmin = Rhc(π^2/6 — 1)
Подставляя числовые значения постоянных, получим:
Wmin = 13.6 эВ(π^2/6 — 1) = 10.2 эВ
Для нахождения наименьшей скорости vmin, необходимой для электронов, можно воспользоваться формулой для кинетической энергии электрона:
K = mv^2/2
где m — масса электрона, v — скорость электрона.
Для нахождения vmin нужно приравнять кинетическую энергию электрона с энергией Wmin:
mvmin^2/2 = Wmin
vmin = √(2Wmin/m)
Подставляя числовые значения, получим:
vmin = √(2*10.2*1.6*10^-19/9.1*10^-31) = 6.5*10^5 м/с
Таким образом, наименьшая энергия Wmin, необходимая для возбуждения всех линий всех серий спектра водорода, равна 10.2 эВ, а наименьшая скорость vmin, необходимая для электронов, равна 6.5*10^5 м/с.
