Вопрос школьника
Какую относительную ошибку мы допускаем, вычисляя атмосферное давление p0=101,3 кПа по высоте ртутного столба, если внутренний диаметр барометрической трубки d равен:
а) 5 мм;
б) 10 мм?
Несмачивание считать полным.
Ответ от учителя
Для вычисления атмосферного давления по высоте ртутного столба используется формула:
p0 = ρgh,
где ρ — плотность ртути, g — ускорение свободного падения, h — высота ртутного столба.
Плотность ртути при нормальных условиях (температура 0°C, давление 101,3 кПа) равна 13,595 г/см³.
Ускорение свободного падения принимается равным 9,81 м/с².
Высота ртутного столба связана с внутренним диаметром барометрической трубки следующим образом:
h = (4L/πd²)Δp,
где L — длина ртутного столба, Δp — разность давлений на уровне ртути и на уровне атмосферы.
Относительная ошибка вычисления атмосферного давления связана с относительной ошибкой измерения высоты ртутного столба:
ε = Δp/p0 = (ρgh)/p0.
Подставляя выражения для h и ε, получаем:
ε = (4Lρg/πd²p0)Δp.
Для оценки относительной ошибки ε необходимо знать длину ртутного столба L и разность давлений Δp. При этом необходимо учитывать, что несмачивание барометрической трубки считается полным, т.е. ртуть в трубке поднимается на высоту, равную диаметру трубки.
а) При внутреннем диаметре барометрической трубки d = 5 мм, длина ртутного столба L примерно равна 760 мм. Разность давлений Δp на уровне ртути и на уровне атмосферы примерно равна 760 мм рт.ст., т.е. 101,3 кПа. Подставляя эти значения в выражение для ε, получаем:
ε = (4·760·13,595·9,81/π·0,5²·101,3)·101,3 ≈ 0,0005.
Относительная ошибка при вычислении атмосферного давления по высоте ртутного столба при диаметре трубки 5 мм составляет около 0,05%.
б) При внутреннем диаметре барометрической трубки d = 10 мм, длина ртутного столба L примерно равна 380 мм. Разность давлений Δp на уровне ртути и на уровне атмосферы также примерно равна 760 мм рт.ст. Подставляя эти значения в выражение для ε, получаем:
ε = (4·380·13,595·9,81/π·1²·101,3)·101,3 ≈ 0,002.
Относительная ошибка при вычислении атмосферного давления по высоте ртутного столба при диаметре трубки 10 мм составляет около 0,2%.
Таким образом, при увеличении диаметра барометрической трубки от 5 мм до 10 мм относительная ошибка вычисления атмосферного давления увеличивается в 4 раза.
