Вопрос школьника
Какую скорость должен иметь искусственный спутник Луны для того, чтобы он обращался вокруг нее по круговой орбите на высоте 40 км? Ускорение свободного падения для Луны на этой высоте равно 1,6 м/с2, а радиус Луны 1760 км
Ответ от учителя
Для того, чтобы искусственный спутник Луны мог обращаться вокруг нее по круговой орбите на высоте 40 км, его скорость должна быть определенной. Для расчета этой скорости необходимо использовать законы Ньютона и закон всемирного тяготения.
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Таким образом, сила притяжения между Луной и искусственным спутником будет равна:
F = G * M1 * M2 / r^2,
где G — гравитационная постоянная, M1 и M2 — массы Луны и спутника соответственно, r — расстояние между ними.
Согласно закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению его массы на ускорение:
F = m * a,
где m — масса тела, a — ускорение.
Таким образом, можно выразить ускорение спутника в зависимости от его массы и расстояния до Луны:
a = G * M1 / r^2.
Для того, чтобы спутник мог обращаться вокруг Луны по круговой орбите, необходимо, чтобы сила притяжения была равна центростремительной силе, действующей на спутник:
F = m * v^2 / r,
где v — скорость спутника.
Сравнивая два последних уравнения, можно выразить скорость спутника в зависимости от массы Луны, расстояния до нее и ускорения свободного падения на этой высоте:
v = sqrt(G * M1 / r) = sqrt(G * M1 / (R + h)),
где R — радиус Луны, h — высота орбиты спутника над поверхностью Луны.
Подставляя числовые значения, получаем:
v = sqrt(6.67 * 10^-11 * 7.34 * 10^22 / (1760 * 10^3 + 40 * 10^3)) = 1680 м/с.
Таким образом, искусственный спутник Луны должен иметь скорость около 1680 м/с для того, чтобы обращаться вокруг нее по круговой орбите на высоте 40 км.
