Вопрос школьника
Камень падает под углом а = 30° к вертикали со скоростью v = 10 м/с в тележку c. песком общей массой М = 18 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах. Скорость тележки с камнем после падения в нее камня равна 0,5 м/с. Определите массу камня.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законами сохранения импульса и энергии.
Согласно закону сохранения импульса, импульс системы камень-тележка должен оставаться неизменным до и после падения камня в тележку. Обозначим массу камня через m, тогда импульс системы до падения камня будет равен:
p1 = mv
где v – скорость камня перед падением.
После падения камня в тележку, система начинает двигаться со скоростью v’, которую нужно найти. Импульс системы после падения камня будет равен:
p2 = (m + M) * v’
где M – масса тележки с песком.
Так как импульс системы должен оставаться неизменным, то:
p1 = p2
mv = (m + M) * v’
v’ = mv / (m + M)
Теперь воспользуемся законом сохранения энергии. Перед падением камня в тележку, система имеет потенциальную энергию, равную:
Ep1 = mgh
где h – высота, с которой падает камень.
После падения камня в тележку, система начинает двигаться со скоростью v’, поэтому она имеет кинетическую энергию, равную:
Ek2 = (m + M) * v’^2 / 2
Так как энергия должна сохраняться, то:
Ep1 = Ek2
mgh = (m + M) * v’^2 / 2
Подставляем выражение для v’:
mgh = (m + M) * (mv / (m + M))^2 / 2
mgh = m^2v^2 / (2(m + M)) + Mmv^2 / (2(m + M))
Выражаем m:
mgh = mv^2 / 2 — Mmv^2 / (2(m + M))
m(gh + Mv^2 / (m + M)) = mv^2 / 2
m = mv^2 / (2(gh + Mv^2 / (m + M)))
Подставляем известные значения:
m = 10^2 / (2(9,81 * sin(30°) + 18 * 0,5^2 / (m + 18)))
Решаем уравнение относительно m численно:
m ≈ 0,27 кг
Ответ: масса камня составляет примерно 0,27 кг.
