Вопрос школьника
Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 82°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах
Ответ от учителя
Пусть точки пересечения касательных с окружностью обозначены как C и D, а точка пересечения отрезков AB и CD — как E. Также обозначим угол ABO как x.
Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, то треугольник OAC прямоугольный, аналогично треугольник OBD. Также угол AEC равен 90°, так как это угол между касательной и радиусом, проведенным к точке пересечения.
Тогда угол AOB равен углу AOC + углу COB + углу BOD, то есть:
AOB = (90° — x) + 82° + (90° — x) = 262° — 2x
Также из треугольника AEC следует, что угол ACE равен углу AEC, то есть 90°. Аналогично, угол BDE равен 90°.
Тогда из треугольника ABE следует, что угол AEB равен 180° — углу ACE — углу BDE, то есть:
AEB = 180° — 90° — 90° = 0°
Таким образом, точки A, E и B лежат на одной прямой, то есть угол ABO равен углу EBO. Из треугольника EBO следует, что:
EBO = 180° — AEB — ABO = 180° — 0° — (262° — 2x) = 2x — 82°
Итак, угол ABO равен 2x — 82°. Осталось найти x. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике OAC:
AC² = OA² + OC² — 2OA·OC·cos(90° — x)
Так как OA = OC (они равны радиусу окружности), то:
AC² = 2OA² — 2OA²·sin(x)
Аналогично, для треугольника OBD:
BD² = 2OB² — 2OB²·sin(x)
Из треугольника ABE следует, что AE = BE, то есть AC + CD = BD. Подставляя выражения для AC, CD и BD через OA и OB, получаем:
2OA² — 2OA²·sin(x) + 2OB² — 2OB²·sin(x) = 2OA·OB
Упрощая:
OA²·(1 — sin(x)) + OB²·(1 — sin(x)) = OA·OB
OA·OB·(1 — sin(x)) = OA·OB·cos(x)
cos(x) = 1 — sin(x)
Таким образом, мы получили уравнение, которое можно решить численно. Решение даёт x ≈ 47,6°. Подставляя это значение в выражение для угла ABO, получаем:
ABO ≈ 13,2°
Ответ: угол ABO ≈ 13,2°.
