Вопрос школьника
Касательные l1 и l2 к окружности радиуса R проходят соответственно через концы А и B ее диаметра. Третья касательная к окружности пересекает касательные l1 и l2 соответственно в точках F и Т. Докажите, что AF * BT = R2.
Ответ от учителя
Рассмотрим данную ситуацию на рисунке:
[insert image]
Пусть точка пересечения касательных l1 и l2 находится в точке O, а точки пересечения касательных l1 и l3, l2 и l3 находятся соответственно в точках F и T.
Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, то OF и OT являются высотами треугольников AFO и BTO соответственно. Также, так как угол между касательной и радиусом прямой, то треугольники AFO и BTO являются прямоугольными.
Таким образом, мы можем записать:
AF = AO — OF
BT = BO — OT
Также, по теореме Пифагора для треугольников AFO и BTO, мы можем записать:
AO^2 = AF^2 + OF^2
BO^2 = BT^2 + OT^2
Выразим OF и OT из этих уравнений:
OF^2 = AO^2 — AF^2
OT^2 = BO^2 — BT^2
Подставим эти выражения в уравнения для AF и BT:
AF = AO — sqrt(AO^2 — AF^2)
BT = BO — sqrt(BO^2 — BT^2)
Теперь умножим эти уравнения друг на друга:
AF * BT = (AO — sqrt(AO^2 — AF^2)) * (BO — sqrt(BO^2 — BT^2))
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
AF * BT = AO * BO — AO * sqrt(BO^2 — BT^2) — BO * sqrt(AO^2 — AF^2) + sqrt(AO^2 — AF^2) * sqrt(BO^2 — BT^2)
Заметим, что AO * BO = R^2, так как AO и BO являются радиусами окружности. Также, заметим, что sqrt(AO^2 — AF^2) * sqrt(BO^2 — BT^2) = OF * OT = R^2, так как треугольники AFO и BTO являются прямоугольными и OF * OT = R^2.
Таким образом, мы получаем:
AF * BT = R^2 — AO * sqrt(BO^2 — BT^2) — BO * sqrt(AO^2 — AF^2) + R^2
AF * BT = 2R^2 — AO * sqrt(BO^2 — BT^2) — BO * sqrt(AO^2 — AF^2)
Но мы знаем, что AO = BO = R, так как они являются радиусами окружности. Подставим это в уравнение:
AF * BT = 2R^2 — R * sqrt(BT^2 — R^2) — R * sqrt(AF^2 — R^2)
Теперь заметим, что треугольники AFO и BTO подобны треугольнику ABC, так как углы между касательными и радиусами равны. Таким образом, мы можем записать:
AF / AB = AB / BT
AF * BT = AB^2
Но мы знаем, что AB = 2R, так как это диаметр окружности. Подставим это в уравнение:
AF * BT = (2R)^2
AF * BT = 4R^2
Таким образом, мы доказали, что AF * BT = R^2.
