Вопрос школьника
Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС = 5 см, АВ = 13 см
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему о проекции вектора на плоскость. Согласно этой теореме, проекция вектора на плоскость равна произведению скалярного произведения вектора на нормаль к плоскости.
В нашем случае, плоскость α задана катетом АС прямоугольного треугольника ABC, поэтому нормаль к этой плоскости будет направлена вдоль гипотенузы BC. Таким образом, нам нужно найти проекцию вектора BV на плоскость α, используя скалярное произведение вектора BV на вектор, направленный вдоль гипотенузы BC.
Для начала найдем вектор BV. Для этого вычтем из координат точки В координаты точки А:
BV = (0, 13, 0) — (0, 5, 0) = (0, 8, 0)
Теперь найдем вектор, направленный вдоль гипотенузы BC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
BC² = AB² + AC²
BC² = 13² + 5²
BC² = 194
BC = √194
Таким образом, вектор, направленный вдоль гипотенузы BC, будет равен:
BC = (0, √194, 5)
Теперь найдем скалярное произведение вектора BV на вектор BC:
BV · BC = 0*0 + 8*√194 + 0*5
BV · BC = 8√194
Это и есть проекция вектора BV на плоскость α. Осталось только найти расстояние от точки В до плоскости α, которое равно длине проекции:
d = |BVproj| = |BV · BC| / |BC|
d = 8√194 / √194
d = 8 см
Таким образом, расстояние от точки В до плоскости α равно 8 см.
