Вопрос школьника
Катет BC прямоугольного треугольника ABC (ABC = 90°) лежит в плоскости а. Точка O — основание перпендикуляра, проведенного из вершины A к плоскости а. Двугранный угол ABCO равен 45°. Вычислите градусную меру угла между прямой AC и плоскостью а, если BC = 2 см, АО =√2 см.
Ответ от учителя
Из условия задачи мы знаем, что угол ABCO равен 45°, а значит, угол ABO равен 45° — 90° = -45° (здесь мы используем свойство суммы углов треугольника, которая равна 180°). Также мы знаем, что АО = √2 см, а значит, AB = АО/√2 = 1 см.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что BC = 2 см, а AB = 1 см. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину AC:
AC² = AB² + BC²
AC² = 1² + 2²
AC² = 5
AC = √5 см
Теперь рассмотрим угол между прямой AC и плоскостью а. Для этого нам нужно найти угол между вектором AC и нормалью к плоскости а. Нормаль к плоскости а проходит через точку O и перпендикулярна плоскости а, а значит, она совпадает с вектором OA. Таким образом, нам нужно найти угол между векторами AC и OA.
Для этого мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов:
AC · OA = |AC| · |OA| · cos(угол между векторами)
где |AC| и |OA| — длины векторов AC и OA соответственно.
Мы уже нашли длину AC и знаем, что OA = √2 см. Теперь нам нужно найти угол между векторами AC и OA. Для этого мы можем воспользоваться теоремой косинусов:
cos(угол между векторами) = (AC² + OA² — CA²) / (2 · |AC| · |OA|)
cos(угол между векторами) = (5 + 2 — 2√5) / (2 · √5 · √2)
cos(угол между векторами) = (7 — 2√5) / (2 · √10)
Теперь мы можем найти градусную меру угла между прямой AC и плоскостью а, используя обратную функцию косинуса:
угол между прямой AC и плоскостью а = arccos((7 — 2√5) / (2 · √10))) ≈ 23,4°
Таким образом, градусная мера угла между прямой AC и плоскостью а составляет примерно 23,4°.
