Вопрос школьника
Катет прямоугольного треугольника равен 16 см. Точка, принадлежащая данному катету, удалена от гипотенузы и от второго катета на 6 см. Найдите периметр треугольника.
Ответ от учителя
Пусть точка, принадлежащая катету, называется А, а гипотенуза и второй катет соответственно называются ВС и ВD. Также обозначим отрезки АВ и АD через х и у соответственно.
Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:
ВС² = АВ² + ВD²
Подставляем известные значения:
ВС² = х² + (у + 6)²
Также заметим, что треугольник АВD подобен треугольнику ВСD, так как угол АВD является прямым, а угол ВСD также является прямым (как угол между катетом и гипотенузой). Поэтому имеем:
AD/VD = AB/BC
или
y/(16-x) = x/BC
Отсюда находим:
BC = 16x/(16-x-y)
Теперь можем выразить ВС через х и у:
ВС = х/BC * ВС
Подставляем значения и упрощаем:
ВС = х(16-x-y)/16x
Таким образом, периметр треугольника равен:
P = ВС + ВD + AB = х(16-x-y)/16x + 16 + х = 16 + х²/16x — хy/16x + х
Для нахождения периметра нам нужно найти значение х и у. Для этого воспользуемся системой уравнений:
х² + у² = ВС²
(у + 6)² + х² = ВС²
Решая эту систему, получаем:
х = 8
у = 6
Подставляем значения в формулу для периметра:
P = 16 + 8²/(16*8) — 8*6/(16*8) + 8 = 32 см
Ответ: периметр треугольника равен 32 см.
