Вопрос школьника
Катет прямоугольного треугольника равен 2, а противолежащий ему угол равен 30°. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, проведённой из вершины прямого угла.
Ответ от учителя
Для начала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{2^2 + 4^2} = sqrt{20} = 2sqrt{5}$
Затем найдем длину медианы, проведенной из вершины прямого угла. По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:
$m = frac{c}{2} = frac{2sqrt{5}}{2} = sqrt{5}$
Теперь найдем площадь каждого из треугольников, на которые данный треугольник делится медианой. Площадь треугольника равна половине произведения катетов:
$S_1 = frac{1}{2} cdot 2 cdot sqrt{5} = sqrt{5}$
$S_2 = frac{1}{2} cdot (2sqrt{5} — 2) cdot sqrt{5} = 3sqrt{5} — 5$
Наконец, найдем радиусы окружностей, вписанных в каждый из треугольников. Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, деленной на полупериметр:
$r_1 = frac{2 + sqrt{5}}{2 + sqrt{5} + sqrt{20}} = frac{2 + sqrt{5}}{2 + sqrt{5} + 2sqrt{5}} = frac{2 + sqrt{5}}{4 + sqrt{5}}$
$r_2 = frac{sqrt{5} — 1}{sqrt{5} — 1 + 2sqrt{5} — 2} = frac{sqrt{5} — 1}{3sqrt{5} — 3}$
Наконец, найдем расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой. Это расстояние равно разности радиусов:
$d = r_2 — r_1 = frac{sqrt{5} — 1}{3sqrt{5} — 3} — frac{2 + sqrt{5}}{4 + sqrt{5}} = frac{2sqrt{5} — 4}{(3sqrt{5} — 3)(4 + sqrt{5})} = frac{2(sqrt{5} — 2)}{27 — 5sqrt{5}}$
Таким образом, расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, равно $frac{2(sqrt{5} — 2)}{27 — 5sqrt{5}}$.
