Вопрос школьника
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 2 : 3, а высота, проведённая к гипотенузе, равна 12 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Ответ от учителя
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 2x и 3x, где x — некоторое число. Тогда по теореме Пифагора:
гипотенуза^2 = (2x)^2 + (3x)^2
гипотенуза^2 = 4x^2 + 9x^2
гипотенуза^2 = 13x^2
гипотенуза = √(13x^2)
Так как высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см, то можно записать:
(2x * 3x) / гипотенуза = 12
6x^2 / гипотенуза = 12
гипотенуза = 6x^2 / 12
гипотенуза = x^2 / 2
Теперь можно подставить это выражение для гипотенузы в предыдущее уравнение:
x^2 / 2 = √(13x^2)
x^4 / 4 = 13x^2
x^2 = 52
x = √52
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 2√52 и 3√52, а гипотенуза равна √(13x^2) = √(13 * 52) = √676 = 26 см.
