Вопрос школьника
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а высота делит его площадь на части, разность которых равна 840 дм2. Найдите площадь данного треугольника.
Ответ от учителя
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3x и 4x, где x — некоторое число. Тогда площадь треугольника равна (3x * 4x) / 2 = 6x^2.
Высота треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на две части, площади которых относятся как катеты. Пусть высота равна h, тогда:
h / 3x = (4x — h) / 4x
4hx = 9x(4x — h)
4hx = 36x^2 — 9hx
13hx = 36x^2
h = (36x^2) / 13
Площадь первой части треугольника равна (3x * h) / 2 = (54x^3) / 13. Площадь второй части равна (4x * (4x — h)) / 2 = (32x^2 — 18xh) / 2 = (16x^2 — (18 * 36x^4) / 169) / 2 = (3384x^2 — 648x^4) / 338.
Разность площадей равна:
(54x^3) / 13 — (3384x^2 — 648x^4) / 338 = 840
Решая это уравнение, получаем x = 13. Подставляя x в формулу для площади треугольника, получаем:
Площадь треугольника = 6x^2 = 6 * 169 = 1014 дм2.
