Вопрос школьника
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4. Найдите площадь этого треугольника, если разность радиусов описанной и вписанной окружностей равна 30 см.
Ответ от учителя
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3x и 4x, где x — некоторое число. Тогда гипотенуза равна 5x (по теореме Пифагора).
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = (3x * 4x) / 2 = 6x^2.
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: R = 5x / 2.
Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов минус гипотенуза: r = (3x + 4x — 5x) / 2 = x / 2.
По условию задачи, разность радиусов описанной и вписанной окружностей равна 30 см: R — r = 30.
Подставляем выражения для R и r и решаем уравнение: 5x / 2 — x / 2 = 30.
Решаем уравнение и находим значение x: 4x = 60, x = 15.
Подставляем найденное значение x в выражения для S и R: S = 6 * 15^2 = 1350, R = 5 * 15 / 2 = 37.5.
Ответ: площадь прямоугольного треугольника равна 1350 квадратных сантиметров.
