Вопрос школьника
Катушку с активным сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 3 Гн подсоединили к идеальному источнику тока с ЭДС ε = 150 В и пренебрежимо малым сопротивлением. Через какое время сила тока в катушке станет равным i(t) = 5 А?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать уравнение для расчета тока в индуктивной цепи:
U = L di/dt + Ri
где U — ЭДС источника тока, L — индуктивность катушки, R — активное сопротивление катушки, i — ток в катушке.
Для нахождения времени, через которое ток в катушке станет равным 5 А, необходимо решить данное уравнение относительно времени t:
di/dt = (U — Ri)/L
di/(U — Ri) = dt/L
∫di/(U — Ri) = ∫dt/L
ln|U — Ri| = Lt + C
где С — постоянная интегрирования.
Для определения постоянной С необходимо использовать начальное условие, что в начальный момент времени ток в катушке равен нулю:
i(0) = 0
ln|U — R*0| = L*0 + C
ln|U| = C
C = ln|U|
Тогда уравнение для тока в катушке примет вид:
ln|U — Ri| = Lt + ln|U|
ln|(U — Ri)/U| = Lt
(U — Ri)/U = e^(Lt)
i(t) = U/R — (U/R — i(0)) * e^(-Rt/L)
Подставляя значения из условия задачи, получим:
i(t) = 150/10 — (150/10 — 0) * e^(-10t/3)
i(t) = 15 — 15 * e^(-10t/3)
Для нахождения времени, через которое ток в катушке станет равным 5 А, необходимо решить уравнение:
5 = 15 — 15 * e^(-10t/3)
e^(-10t/3) = 2/3
-10t/3 = ln(2/3)
t = -3/10 * ln(2/3) ≈ 0.46 секунд
Ответ: через 0.46 секунд сила тока в катушке станет равным 5 А.
