Вопрос школьника
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна 1. Найдите площадь пятиугольника.
Ответ от учителя
Пусть пятиугольник ABCDE имеет диагонали AC, AD, AE, BD, BE. Тогда каждая из этих диагоналей отсекает от пятиугольника треугольник, площадь которого равна 1. Обозначим эти треугольники как ΔACD, ΔADE, ΔAEB, ΔBDC, ΔBEC.
Таким образом, площадь пятиугольника ABCDE можно выразить как сумму площадей этих пяти треугольников:
S(ABCDE) = S(ΔACD) + S(ΔADE) + S(ΔAEB) + S(ΔBDC) + S(ΔBEC)
Заметим, что каждый из этих треугольников имеет общую вершину A. Поэтому мы можем объединить их в один треугольник, используя стороны пятиугольника в качестве его сторон:
S(ABCDE) = S(ΔACD) + S(ΔADE) + S(ΔAEB) + S(ΔBDC) + S(ΔBEC)
= S(ΔACD) + S(ΔADE) + S(ΔAEB) + S(ΔBDC) + S(ΔBEC) + S(ΔABC) — S(ΔABC)
= S(ΔABC) + S(ΔACD) + S(ΔADE) + S(ΔAEB) + S(ΔBDC) + S(ΔBEC) — S(ΔABC)
= S(ΔABC) + 4
Здесь мы использовали тот факт, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ACD, ADE, AEB, BDC, BEC.
Таким образом, площадь пятиугольника ABCDE равна площади треугольника ABC плюс 4:
S(ABCDE) = S(ΔABC) + 4
Ответ: площадь пятиугольника равна площади треугольника ABC плюс 4.
