Вопрос школьника
Каждая из боковых сторон трапеции ABCD (рис. 75) разделена на четыре равные части: АЕ = EF = FK = KB, DN = NM = MP = PC. Найдите отрезки EN, ЕМ и КР, если AD = 19 см, ВС= 11 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать свойства трапеции и равенства отрезков, полученных при делении боковых сторон на равные части.
1. Найдем длину оснований трапеции AB и CD. Так как боковые стороны трапеции разделены на 4 равные части, то каждая из них равна 1/4 от соответствующей основы. Таким образом, AB = AE + EF + FK + KB = 4AE = 4EF = 4FK = 4KB, а CD = DN + NM + MP + PC = 4DN = 4NM = 4MP = 4PC. Из условия задачи известно, что AB = 19 см, а CD = 11 см. Подставляя значения, получаем:
4AE + 4EF + 4FK + 4KB = 19,
4DN + 4NM + 4MP + 4PC = 11.
Делим обе части каждого уравнения на 4 и получаем:
AE + EF + FK + KB = 4.75,
DN + NM + MP + PC = 2.75.
2. Найдем длину отрезка EN. Он равен сумме отрезков EF и FN. Так как EF = FN, то EN = 2EF. Из первого уравнения получаем, что EF = (4.75 — AE — FK — KB)/2. Подставляем значения и находим:
EF = (4.75 — 4AE)/2 = (4.75 — 4EF)/2 = (4.75 — 4FK)/2 = (4.75 — 4KB)/2 = 0.9375 см.
Тогда EN = 2EF = 1.875 см.
3. Найдем длину отрезка EM. Он равен сумме отрезков EF и FM. Так как EF = FM, то EM = 2EF. Из первого уравнения получаем, что EF = (4.75 — AE — FK — KB)/2. Подставляем значения и находим:
EF = (4.75 — 4AE)/2 = (4.75 — 4EF)/2 = (4.75 — 4FK)/2 = (4.75 — 4KB)/2 = 0.9375 см.
Тогда EM = 2EF = 1.875 см.
4. Найдем длину отрезка KR. Он равен сумме отрезков FK и KP. Так как FK = KP, то KR = 2FK. Из первого уравнения получаем, что FK = (4.75 — AE — EF — KB)/2. Подставляем значения и находим:
FK = (4.75 — 4AE)/2 = (4.75 — 4EF)/2 = (4.75 — 4KB)/2 = (4.75 — 4EF)/2 = 0.9375 см.
Тогда KR = 2FK = 1.875 см.
Итак, мы нашли, что EN = EM = KR = 1.875 см.
