Вопрос школьника
Каждая из точек М i N равноудалена от концов отрезка АВ. Докажите, что прямая MN — серединный перпендикуляр отрезка АВ.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения нужно воспользоваться определением серединного перпендикуляра.
Серединный перпендикуляр отрезка АВ — это прямая, которая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна ему.
Пусть точка М находится на расстоянии d от точки А и точка N находится на расстоянии d от точки В. Тогда, так как точки М и N равноудалены от концов отрезка АВ, то расстояние от точки М до точки В также равно d, а расстояние от точки N до точки А также равно d.
Таким образом, получаем, что точки М и N находятся на одинаковом расстоянии от середины отрезка АВ. Значит, прямая МN проходит через середину отрезка АВ.
Осталось доказать, что прямая МN перпендикулярна отрезку АВ. Для этого достаточно показать, что угол МАN равен 90 градусов.
Рассмотрим треугольник МАН. Так как точки М и N находятся на одинаковом расстоянии от середины отрезка АВ, то отрезок МН является медианой этого треугольника. Значит, он делит угол МАН пополам.
Так как точки М и N равноудалены от концов отрезка АВ, то углы МАN и МВN равны. Значит, угол МВN также делится пополам отрезком МН.
Таким образом, получаем, что угол МАН равен углу МВN, который равен 90 градусов, так как отрезок МН является медианой треугольника МВА. Значит, угол МАN также равен 90 градусов, что и требовалось доказать.
Таким образом, прямая МN является серединным перпендикуляром отрезка АВ.
