Вопрос школьника
Каждая точка прямой имеет один из двух цветов. Докажите, что на этой прямой можно найти три такие точки А, В и С одного цвета, что В является серединой отрезка АС.
Ответ от учителя
Предположим, что на прямой нельзя найти три точки одного цвета, такие что одна из них является серединой отрезка между двумя другими. Тогда каждая точка прямой должна иметь разный цвет от своих соседей, иначе мы бы нашли три точки одного цвета, образующие отрезок с серединой.
Рассмотрим две соседние точки на прямой, пусть они имеют разные цвета. Без ограничения общности, пусть первая точка окрашена в цвет 1, а вторая — в цвет 2. Тогда мы можем разбить прямую на две части: все точки до первой точки окрашены в цвет 2, а все точки после второй точки окрашены в цвет 1.
Рассмотрим теперь третью точку на прямой. Она может иметь цвет 1 или 2. Если она имеет цвет 1, то мы можем повторить процедуру выше для правой части прямой, и таким образом разбить ее на две части: все точки до третьей точки окрашены в цвет 2, а все точки после третьей точки окрашены в цвет 1. Если же третья точка имеет цвет 2, то мы можем повторить процедуру для левой части прямой.
Мы можем продолжать этот процесс, разбивая прямую на все более мелкие части, но так как прямая бесконечна, мы никогда не найдем три точки одного цвета, образующие отрезок с серединой. Это противоречит нашему предположению, что такие точки не существуют, и поэтому мы можем найти три точки А, В и С одного цвета, где В является серединой отрезка АС.
