Вопрос школьника
Каждую грань куба окрашены в белый или черный цвет. Докажите, что знайдиться две грани со стильным ребром, которые окрашены в один цвет
Ответ от учителя
Для решения данной задачи можно воспользоваться принципом Дирихле, который утверждает, что если на n+1 объектов распределить n меток, то как минимум на два объекта придется по одной метке.
В данном случае объектами являются грани куба, а метками — цвета (белый и черный). Таким образом, если на кубе 7 граней окрашены в белый цвет и 7 граней — в черный цвет, то по принципу Дирихле найдутся две грани со стильным ребром, которые окрашены в один цвет.
Действительно, если мы рассмотрим любую грань куба, то она имеет три стильных ребра, каждое из которых соединяет ее с другой гранью. Таким образом, каждая грань имеет три «соседние» грани. Если на кубе 7 граней окрашены в белый цвет и 7 граней — в черный цвет, то по принципу Дирихле найдутся две грани, которые имеют общее стильное ребро и окрашены в один цвет.
Например, если мы рассмотрим грань, окрашенную в белый цвет, то она имеет три стильных ребра, каждое из которых соединяет ее с другой гранью. Если на кубе есть еще 6 граней, окрашенных в белый цвет, то как минимум на одной из них должно быть общее стильное ребро с нашей гранью. Таким образом, мы нашли две грани со стильным ребром, которые окрашены в белый цвет.
Аналогично можно рассмотреть случай, когда на кубе 7 граней окрашены в черный цвет. Таким образом, мы доказали, что на кубе найдутся две грани со стильным ребром, которые окрашены в один цвет.
