Вопрос школьника
Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что оставшиеся части также подобны?
Ответ от учителя
Да, верно.
Пусть у нас есть два подобных треугольника ABC и A’B’C’, где соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом k.
Предположим, что мы разрезали треугольник ABC на два треугольника ADE и EFC, а треугольник A’B’C’ на два треугольника A’D’F’ и D’E’C’, так что треугольник ADE подобен треугольнику A’D’F’.
Тогда мы знаем, что соответствующие стороны треугольников ADE и A’D’F’ пропорциональны с коэффициентом k. Пусть сторона AD имеет длину a, а сторона A’D’ имеет длину a’. Тогда мы можем записать:
a’ = ka
Аналогично, мы можем показать, что сторона EF подобна стороне D’F’, и что сторона FC подобна стороне E’C’.
Теперь рассмотрим треугольник EFC. Мы знаем, что сторона EF пропорциональна стороне D’F’, а сторона FC пропорциональна стороне E’C’. Таким образом, мы можем записать:
EF = kD’F’
FC = kE’C’
Теперь мы можем использовать наши уравнения для сторон AD и A’D’, чтобы выразить D’F’ и E’C’ через a и a’:
D’F’ = a’/k
E’C’ = (1 — a’)/k
Теперь мы можем подставить эти выражения в наши уравнения для EF и FC:
EF = k(a’/k) = a’
FC = k((1 — a’)/k) = (k — a’)
Таким образом, мы видим, что стороны EF и FC пропорциональны соответствующим сторонам треугольника A’D’E’, с коэффициентом пропорциональности k. Это означает, что треугольник EFC подобен треугольнику D’E’C’.
Аналогично, мы можем показать, что другая часть треугольника ABC, состоящая из треугольников ADE и D’E’C’, подобна другой части треугольника A’B’C’, состоящей из треугольников A’D’F’ и EFC.
Таким образом, мы видим, что если одна из частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника, то оставшиеся части также подобны.
