Вопрос школьника
Каждый участник шахматного турнира, играя белыми фигурами, выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя черными. Докажите, что все участники получили одинаковое количество побед
Ответ от учителя
Пусть в турнире участвует n человек. Обозначим через xi количество побед, которые одержал i-й участник, играя белыми фигурами. Тогда количество побед, которые одержали все участники вместе, играя белыми фигурами, равно сумме xi:
S = x1 + x2 + … + xn
По условию каждый участник выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя черными. Обозначим через yi количество побед, которые одержал i-й участник, играя черными фигурами. Тогда количество побед, которые одержали все участники вместе, играя черными фигурами, равно сумме yi:
T = y1 + y2 + … + yn
Так как каждый участник выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя черными, то xi = T — yi. Подставляя это выражение в формулу для S, получаем:
S = (T — y1) + (T — y2) + … + (T — yn) = nT — (y1 + y2 + … + yn) = nT — T = (n — 1)T
Таким образом, мы получили, что сумма xi равна (n — 1)T. Но по условию каждый участник выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя черными, то есть yi = (T — yi) для любого i. Следовательно, сумма yi равна T/2 (поскольку каждая партия учитывается дважды). Подставляя это выражение в формулу для T, получаем:
T = 2(y1 + y2 + … + yn)
Таким образом, мы получили, что сумма yi равна T/2, а сумма xi равна (n — 1)T. Следовательно, сумма всех побед равна (n — 1)T + T/2 = (2n — 1)T/2. Но так как каждая партия имеет одинаковый исход (победа белых или победа черных), то количество побед должно быть четным числом. Следовательно, (2n — 1)T/2 должно быть четным числом, что возможно только если T — нечетное число. Но это противоречит тому, что каждый участник выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя черными. Следовательно, предположение о том, что участники могут иметь разное количество побед, неверно, и все участники получили одинаковое количество побед.
