Вопрос школьника
Когда цифровыми число, у которого цифры сотен и десятков одинаковые, а цифра единиц равна 5, поделили наодноцифрове число, то в остатка получили 8. Чему равны делимое, делитель и неполное частное?
Ответ от учителя
Пусть искомое число равно $x$. Тогда его запись в виде трехзначного числа будет иметь вид $xy5$, где $y$ — цифра, равная цифре десятков и сотен.
Также из условия задачи известно, что при делении $x$ на однозначное число $d$ получается остаток 8. Это можно записать в виде уравнения:
$$x equiv 8 pmod{d}$$
Заметим, что $d$ не может быть равным 5, так как в этом случае остаток при делении будет равен 0, а не 8. Значит, $d$ должно быть одним из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 или 9.
Теперь рассмотрим все возможные значения $d$ и найдем соответствующие значения $x$ и неполного частного.
1. $d=1$
В этом случае $x$ может быть любым трехзначным числом, так как любое число делится на 1 без остатка. Неполное частное будет равно $x/1=x$.
2. $d=2$
Из уравнения $x equiv 8 pmod{2}$ следует, что $x$ должно быть четным. Также $y$ не может быть равным 0, так как в этом случае $x$ будет кратно 100 и не будет трехзначным. Значит, $y$ может быть только 1, 3, 5, 7 или 9. Подставляя эти значения, получаем:
— $y=1$: $x=811$, неполное частное $x/2=405.5$
— $y=3$: $x=833$, неполное частное $x/2=416.5$
— $y=5$: $x=855$, неполное частное $x/2=427.5$
— $y=7$: $x=877$, неполное частное $x/2=438.5$
— $y=9$: $x=899$, неполное частное $x/2=449.5$
3. $d=3$
Из уравнения $x equiv 8 pmod{3}$ следует, что сумма цифр числа $x$ должна быть кратна 3. Также $y$ не может быть равным 0 или 5, так как в этом случае $x$ будет кратно 100 и не будет трехзначным. Значит, $y$ может быть только 1, 2, 4, 7 или 8. Подставляя эти значения, получаем:
— $y=1$: $x=811$, неполное частное $x/3=270.overline{3}$
— $y=2$: $x=822$, неполное частное $x/3=274$
— $y=4$: $x=844$, неполное частное $x/3=281.overline{3}$
— $y=7$: $x=877$, неполное частное $x/3=292.overline{3}$
— $y=8$: $x=888$, неполное частное $x/3=296$
4. $d=4$
Из уравнения $x equiv 8 pmod{4}$ следует, что $x$ должно быть четным. Также $y$ не может быть равным 0, так как в этом случае $x$ будет кратно 100 и не будет трехзначным. Значит, $y$ может быть только 1, 3, 5, 7 или 9. Подставляя эти значения, получаем:
— $y=1$: $x=811$, неполное частное $x/4=202.75$
— $y=3$: $x=833$, неполное частное $x/4=208.25$
— $y=5$: $x=855$, неполное частное $x/4=213.75$
— $y=7$: $x=877$, неполное частное $x/4=219.25$
— $y=9$: $x=899$, неполное частное $x/4=224.75$
5. $d=6$
Из уравнения $x equiv 8 pmod{6}$ следует, что $x$ должно быть четным и заканчиваться на 8 или 2. Также $y$ не может быть равным 0, так как в этом случае $x$ будет кратно 100 и не будет трехзначным. Значит, $y$ может быть только 1, 5 или 9. Подставляя эти значения, получаем:
— $y=1$: $x=812$, неполное частное $x/6=135.overline{3}$
— $y=5$: $x=855$, неполное частное $x/6=142.5$
— $y=9$: $x=898$, неполное частное $x/6=149.6overline{6}$
6. $d=7$
Из уравнения $x equiv 8 pmod{7}$ следует, что $x$ должно быть равно 8, 15, 22, …, 994. Также $y$ не может быть равным 0 или 5, так как в этом случае $x$ будет кратно 100 и не будет трехзначным. Значит, $y$ может быть только 1, 2, 3, 4, 6, 8 или 9. Подставляя эти значения, получаем:
— $y=1$: $x=815$, неполное частное $x/7=116.overline{4}$
— $y=2$: $x=822$, неполное частное $x/7=117.4overline{2}$
— $y=3$: $x=833$, неполное частное $x/7=119$
— $y=4$: $x=844$, неполное частное $x/7=120.overline{5}$
— $y=6$: $x=866$, неполное частное $x/7=123.7overline{1}$
— $y=8$: $x=888$, неполное частное $x/7=127.4overline{2}$
— $y=9$: $x=899$, неполное частное $x/7=128.overline{4}$
8. $d=8$
Из уравнения $x equiv 8 pmod{8}$ следует, что $x$ должно быть четным и заканчиваться на 8. Также $y$ не может быть равным 0, так как в этом случае $x$ будет кратно 100 и не будет трехзначным. Значит, $y$ может быть только 1, 3, 5, 7 или 9. Подставляя эти значения, получаем:
— $y=1$: $x=808$, неполное частное $x/8=101$
— $y=3$: $x=832$, неполное частное $x/8=104$
— $y=5$: $x=856$, неполное частное $x/8=107$
— $y=7$: $x=880$, неполное частное $x/8=110$
— $y=9$: $x=904$, неполное частное $x/8=113$
9. $d=9$
Из уравнения $x equiv 8 pmod{9}$ следует, что сумма цифр числа $x$ должна быть кратна 9. Также $y$ не может быть равным 0 или 5, так как в этом случае $x$ будет кратно 100 и не будет трехзначным. Значит, $y$ может быть только 1, 2, 4, 7 или 8. Подставляя эти значения, получаем:
— $y=1$: $x=811$, неполное частное $x/9=90.overline{1}$
— $y=2$: $x=822$, неполное частное $x/9=91.overline{3}$
— $y=4$: $x=844$, неполное частное $x/9=93.overline{7}$
— $y=7$: $x=877$, неполное частное $x/9=97.overline{4}$
— $y=8$: $x=888$, неполное частное $x/9=98.overline{6}$
Итак, мы рассмотрели все возможные значения $d$ и нашли соответствующие значения $x$ и неполного частного. Ответ: делимое $x$ может быть равно 811, 833, 855, 877, 899, 812, 855, 898, 815, 822, 833, 844, 866, 888, 899, 808, 832, 856, 880 или 904, делитель $d$ может быть равен 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 или 9, неполное частное будет соответственно равно $x/d$.
