Вопрос школьника
Колебательный контур с периодом колебаний 1 мкс имеет индуктивность 0,2 мГн и активное сопротивление 2 Ом. На сколько процентов уменьшается энергия этого контура за время одного колебания? (Потерями энергии на излучение можно пренебречь.)
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для энергии колебательного контура:
$E = frac{1}{2} L I^2$
где $L$ — индуктивность контура, $I$ — ток в контуре.
Период колебаний $T$ связан с частотой $omega$ следующим образом:
$T = frac{2pi}{omega}$
Следовательно, частота колебаний равна:
$omega = frac{2pi}{T} = 2cdot10^6$ рад/с
Ток в контуре можно найти из уравнения колебаний:
$I = I_0 e^{-frac{R}{L}t} cos(omega t)$
где $I_0$ — амплитуда тока, $R$ — активное сопротивление контура.
За время одного колебания $t=T$, экспонента в этом уравнении обращается в единицу, поэтому:
$I = I_0 cos(omega t)$
Амплитуду тока можно найти из начальных условий задачи. При $t=0$ ток равен максимальному значению $I_0$, следовательно:
$I_0 = sqrt{frac{2E}{L}}$
где $E$ — начальная энергия контура.
Подставляя все известные значения в формулу для энергии, получаем:
$E = frac{1}{2} L I_0^2 = frac{1}{2} cdot 0,2 cdot left(sqrt{frac{2E}{0,2}}right)^2 = E$
Откуда следует, что начальная энергия контура равна:
$E = frac{1}{2} cdot 0,2 cdot I_0^2 = 0,1 I_0^2$
За время одного колебания энергия контура уменьшится на величину, равную работе, совершаемой силой тока против активного сопротивления контура:
$Delta E = W = intlimits_0^T R I^2 dt = R I_0^2 intlimits_0^T cos^2(omega t) dt = frac{R I_0^2 T}{2} = frac{R I_0^2}{2omega}$
Подставляя известные значения, получаем:
$Delta E = frac{2 cdot 2 cdot 10^{-6}}{2cdot10^6} I_0^2 = 2 cdot 10^{-6} I_0^2$
Относительное уменьшение энергии равно:
$frac{Delta E}{E} = frac{2 cdot 10^{-6} I_0^2}{0,1 I_0^2} = 0,02 = 2%$
Ответ: энергия колебательного контура уменьшится за время одного колебания на 2%.
