Вопрос школьника
Концы диаметра окружности удалены от касательной к этой окружности на расстояние 1,6 м и 0,6 м. Найдите диаметр окружности.
Ответ от учителя
Пусть точки, в которых касательная к окружности касается ее, обозначены как A и B, а центр окружности — как O. Тогда, по свойству касательных, отрезки AO и BO являются радиусами окружности, а отрезок AB — диаметром.
Мы знаем, что расстояние от точки A до касательной равно 1,6 м, а от точки B — 0,6 м. Обозначим точку касания касательной с точкой A как C, а с точкой B — как D. Тогда получаем два прямоугольных треугольника AOC и BOD, в которых известны катеты AC = 1,6 м и BD = 0,6 м.
Чтобы найти диаметр AB, нам нужно найти гипотенузы этих треугольников — радиусы окружности AO и BO. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
AO² = AC² + CO²
BO² = BD² + DO²
Заметим, что CO = DO, так как это расстояние от центра окружности до касательной, проведенной в точке пересечения радиуса и диаметра. Обозначим его как x:
AO² = AC² + x²
BO² = BD² + x²
Так как AO и BO — это радиусы одной и той же окружности, то они равны между собой:
AO = BO
Следовательно, мы можем записать:
AC² + x² = BD² + x²
Отсюда получаем:
AC² — BD² = (AC + BD)(AC — BD) = 1 м²
Так как AC + BD = AB, то мы можем записать:
AB = 1 м² / (AC — BD)
Подставляя известные значения, получаем:
AB = 1 м² / (1,6 м — 0,6 м) = 1 м² / 1 м = 1 м
Таким образом, диаметр окружности равен 1 м.
