Вопрос школьника
Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО = OD.
Ответ от учителя
Пусть точка О имеет координаты (x, y), а точки А и В имеют координаты (x1, y1) и (x2, y2) соответственно. Так как АВ параллельно прямым а и b, то координаты точек А и В должны удовлетворять уравнениям прямых a и b соответственно:
a: y = k1x + b1
b: y = k2x + b2
где k1 и k2 — угловые коэффициенты прямых a и b, а b1 и b2 — их смещения.
Так как АВ — отрезок, то его середина О имеет координаты:
x = (x1 + x2) / 2
y = (y1 + y2) / 2
Прямая, проходящая через О, имеет уравнение:
y — y = (y2 — y1) / (x2 — x1) * (x — x1)
y = (y2 — y1) / (x2 — x1) * x + (y1x2 — y2x1) / (x2 — x1)
Пересечение этой прямой с прямой a дает точку С с координатами (xс, yс):
(y2 — y1) / (x2 — x1) * xс + (y1x2 — y2x1) / (x2 — x1) = k1xс + b1
xс = (b1 — (y1x2 — y2x1) / (x2 — x1)) / (k1 — (y2 — y1) / (x2 — x1))
yс = k1xс + b1
Аналогично, пересечение прямой, проходящей через О, с прямой b дает точку D с координатами (xd, yd):
(y2 — y1) / (x2 — x1) * xd + (y1x2 — y2x1) / (x2 — x1) = k2xd + b2
xd = (b2 — (y1x2 — y2x1) / (x2 — x1)) / (k2 — (y2 — y1) / (x2 — x1))
yd = k2xd + b2
Так как О — середина отрезка АВ, то его координаты должны удовлетворять уравнению прямой, проходящей через С и D:
(yd — yс) / (xd — xс) * (x — xс) + yс = y
(yd — yс) / (xd — xс) * (x — (b1 — (y1x2 — y2x1) / (x2 — x1)) / (k1 — (y2 — y1) / (x2 — x1))) + k1(b1 — (y1x2 — y2x1) / (x2 — x1)) / (k1 — (y2 — y1) / (x2 — x1)) + b1 = y
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:
x = (x1 + x2) / 2 = (b1 — b2 + (y1 — y2) / (x2 — x1) * (x1 + x2)) / (2 * (k1 — k2))
y = (y1 + y2) / 2 = (k2b1 — k1b2 + (k1y2 — k2y1) / (x2 — x1) * (x1 + x2)) / (2 * (k2 — k1))
Таким образом, координаты точки О зависят только от координат точек А и В, и не зависят от угловых коэффициентов прямых a и b. Следовательно, точка О всегда будет находиться на середине отрезка СD, и СО = OD.
