Вопрос школьника
Куб має об’єм, удвічі більший за об’єм прямокутного паралелепіпеда. Знайдіть суму довжин усіх ребер куба, якщо виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 2 см, 2 см, 1 см.
Ответ от учителя
Пусть об’єм куба дорівнює V, тоді об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює V/2. Знаємо, що об’єм куба дорівнює a^3, де a — довжина ребра куба. Тоді V = a^3, а V/2 = (a/√2)^2 * a/2. Отже, (a/√2)^2 * a/2 = V/2, звідки a = √2 * (V/2)^(1/3).
Тепер знаходимо довжину одного ребра куба: a = √2 * (V/2)^(1/3) = √2 * (2V)^(1/3). Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 12a, оскільки куб має 12 ребер. Тоді сума довжин усіх ребер куба дорівнює:
12 * √2 * (2V)^(1/3) = 12 * √2 * (2 * a^3)^(1/3) = 12 * √2 * (2 * (√2 * (V/2)^(1/3))^3)^(1/3) = 12 * √2 * (2 * V)^(1/3) * (√2 * 2)^(1/3) = 12 * √2 * (2 * V)^(1/3) * ∛2.
Підставляємо V/2 замість V:
12 * √2 * (2 * (V/2))^(1/3) * ∛2 = 12 * √2 * V^(1/3) * ∛2.
Отже, сума довжин усіх ребер куба дорівнює 12 * √2 * V^(1/3) * ∛2.
