Вопрос школьника
Куб, усі грані якого пофарбовано, розрізали на 27 рівних кубиків. Знайдіть
імовірність того, що взятий навмання кубик має:
а) 3 пофарбовані грані;
б) 2 пофарбовані грані;
в ) 1 пофарбовану грань;
г) 0 пофарбованих граней.
Ответ от учителя
У куба всього 6 граней, тому кожен з 27 кубиків містить по 6/27 = 2/9 граней.
а) Щоб взятий кубик мав 3 пофарбовані грані, потрібно взяти кубик, який містить 3 пофарбовані грані і 3 непофарбовані грані. Кількість таких кубиків дорівнює кількості способів вибрати 3 пофарбовані грані з 6 (C(6,3) = 20) помножене на кількість способів вибрати 3 непофарбовані грані з 6 (C(6,3) = 20). Отже, загальна кількість сприятливих випадків дорівнює 20 * 20 = 400. Імовірність того, що взятий кубик має 3 пофарбовані грані, дорівнює кількості сприятливих випадків (400) поділені на загальну кількість випадків (27), тобто 400/27.
б) Щоб взятий кубик мав 2 пофарбовані грані, потрібно взяти кубик, який містить 2 пофарбовані грані і 4 непофарбовані грані або 4 пофарбовані грані і 2 непофарбовані грані. Кількість таких кубиків дорівнює кількості способів вибрати 2 пофарбовані грані з 6 (C(6,2) = 15) помножене на кількість способів вибрати 4 непофарбовані грані з 6 (C(6,4) = 15), або кількість способів вибрати 4 пофарбовані грані з 6 (C(6,4) = 15) помножене на кількість способів вибрати 2 непофарбовані грані з 6 (C(6,2) = 15). Отже, загальна кількість сприятливих випадків дорівнює 15 * 15 + 15 * 15 = 450. Імовірність того, що взятий кубик має 2 пофарбовані грані, дорівнює кількості сприятливих випадків (450) поділені на загальну кількість випадків (27), тобто 450/27.
в) Щоб взятий кубик мав 1 пофарбовану грань, потрібно взяти кубик, який містить 1 пофарбовану грань і 5 непофарбованих граней, або 5 пофарбованих граней і 1 непофарбовану грань. Кількість таких кубиків дорівнює кількості способів вибрати 1 пофарбовану грань з 6 (C(6,1) = 6) помножене на кількість способів вибрати 5 непофарбованих граней з 6 (C(6,5) = 6), або кількість способів вибрати 5 пофарбованих граней з 6 (C(6,5) = 6) помножене на кількість способів вибрати 1 непофарбовану грань з 6 (C(6,1) = 6). Отже, загальна кількість сприятливих випадків дорівнює 6 * 6 + 6 * 6 = 72. Імовірність того, що взятий кубик має 1 пофарбовану грань, дорівнює кількості сприятливих випадків (72) поділені на загальну кількість випадків (27), тобто 72/27.
г) Щоб взятий кубик не мав пофарбованих граней, потрібно взяти кубик, який містить 6 непофарбованих граней. Кількість таких кубиків дорівнює кількості способів вибрати 6 непофарбованих граней з 6 (C(6,6) = 1). Отже, загальна кількість сприятливих випадків дорівнює 1. Імовірність того, що взятий кубик не має пофарбованих граней, дорівнює кількості сприятливих випадків (1) поділені на загальну кількість випадків (27), тобто 1/27.
