Вопрос школьника
Кут між основою рівнобедреного трикутника та висотою, проведеною до бічної сторони, дорівнює 19°. Знайдіть кути даного трикутника
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі використовується властивість рівнобедреного трикутника: він має дві рівні сторони і два рівні кути, які лежать проти цих сторін.
Позначимо основу рівнобедреного трикутника як AB, а висоту, проведену до бічної сторони, як CD. Нехай точка E є серединою сторони BC.
Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то ми знаємо, що AB = AC. Також, оскільки висота CD проведена до бічної сторони, то ми можемо розглядати трикутник ACD як прямокутний трикутник з прямим кутом в точці D.
За властивістю прямокутного трикутника ми можемо записати, що:
tan(19°) = DE/CD
де DE — відрізок, який з’єднує точки D та E.
Оскільки точка E є серединою сторони BC, то ми можемо записати, що BE = EC. Також, оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то ми можемо записати, що BE = AB/2.
За теоремою Піфагора для трикутника ABE ми можемо записати, що:
AE^2 = AB^2 — BE^2
AE^2 = AB^2 — (AB/2)^2
AE^2 = AB^2/4
AE = AB/2
Отже, ми можемо записати, що DE = CD — CE = CD — AB/2.
Підставляючи це значення в формулу для тангенса, ми отримуємо:
tan(19°) = (CD — AB/2)/CD
tan(19°) = 1 — AB/(2CD)
AB/(2CD) = 1 — tan(19°)
AB/CD = 2(1 — tan(19°))
Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то ми можемо записати, що кути B та C є рівними. Позначимо ці кути як x.
За теоремою синусів для трикутника ABC ми можемо записати, що:
AB/sin(x) = 2CD/sin(180° — 2x)
AB/sin(x) = 2CD/sin(2x)
AB/CD = 2sin(x)/sin(2x)
Підставляючи значення AB/CD, яке ми отримали раніше, ми отримуємо:
2(1 — tan(19°)) = 2sin(x)/sin(2x)
1 — tan(19°) = sin(x)/sin(2x)
За теоремою косинусів для трикутника ACD ми можемо записати, що:
AC^2 = AD^2 + CD^2
AB^2 = AD^2 + (2CD)^2
AB^2 = AD^2 + 4CD^2
Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то ми можемо записати, що AD = BC/2 = AB/2.
Підставляючи це значення, ми отримуємо:
AB^2 = (AB/2)^2 + 4CD^2
AB^2 = AB^2/4 + 4CD^2
3AB^2/4 = 4CD^2
AB^2 = 16CD^2/3
Підставляючи це значення в формулу для тангенса, ми отримуємо:
tan(19°) = DE/CD
tan(19°) = (AB/2 — CD)/CD
tan(19°) = (AB — 2CD)/2CD
AB — 2CD = 2CD tan(19°)
AB = 4CD/3 + 2CD tan(19°)
Підставляючи це значення в формулу для sin(x)/sin(2x), ми отримуємо:
1 — tan(19°) = sin(x)/sin(2x)
1 — tan(19°) = sin(x)/(2sin(x)cos(x))
1 — tan(19°) = 1/(2cos(x))
cos(x) = 2/(2 — 2tan(19°))
cos(x) = 1/(1 — tan(19°))
cos(x) = 1.052
x = arccos(1.052)
x = 0.515 радіан або 29.5°
Отже, кути даного рівнобедреного трикутника дорівнюють 29.5°, 29.5° та 121° (оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°).
