Вопрос школьника
Кут при основі АС рівнобедреного трикутника ABC у 2 рази більший за кут при вершині, AM — бісектриса трикутника. Доведіть, що ВМ = АС
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі використаємо властивості рівнобедреного трикутника та бісектрису кута.
Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то кути при основі AB та AC дорівнюють один одному. Позначимо цей кут через x. За умовою задачі, кут при вершині B дорівнює x/2.
За властивостями бісектриси кута, точка M розділяє сторону BC на відрізки BM та MC у співвідношенні, що дорівнює відношенню довжин відрізків AB та AC. Тобто:
BM/MC = AB/AC
Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то AB = AC, тому:
BM/MC = 1
Звідси випливає, що відрізки BM та MC мають однакову довжину, тобто BM = MC.
Розглянемо трикутник AMB. Оскільки кут B дорівнює x/2, а кут MAB є бісектрисою кута A, то кут BAM також дорівнює x/2. Отже, трикутник AMB є рівнобедреним, тобто AB = BM.
Звідси маємо:
AC = AB (трикутник ABC є рівнобедреним)
BM = MC (за властивостями бісектриси кута)
AB = BM (з трикутника AMB)
Отже, AC = AB = BM = MC, тобто ВМ = АС.
