Вопрос школьника
Лесной царь отвел для зверят под огороды участки прямоугольной формы, сумма длин сторон каждого из которых равна 16 м. Какой площади участок получил каждый из зверят, если все площади разные и длины сторон участков выражаются целыми числами? Какую форму имеет участок с наибольшей площадью?
Ответ от учителя
Пусть длина одной из сторон прямоугольника равна $x$, тогда длина второй стороны будет равна $16-x$. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, то есть $S=x(16-x)$. Нам нужно найти такие целые $x$, при которых площадь $S$ будет максимальной.
Для этого можно построить график функции $S=x(16-x)$ и найти точку максимума. Для этого нужно найти вершину параболы, которая описывает эту функцию. Формула вершины параболы имеет вид $x_0=-frac{b}{2a}$, где $a$ и $b$ — коэффициенты при $x^2$ и $x$ соответственно. В нашем случае $a=-1$, $b=16$, поэтому $x_0=-frac{16}{2(-1)}=8$. Это значит, что прямоугольник с наибольшей площадью будет иметь стороны длиной 8 м и 8 м.
Площадь такого прямоугольника будет равна $S=8(16-8)=64$ квадратных метра. Остальные участки будут иметь площадь, которая будет зависеть от длины их сторон. Например, если одна сторона равна 1 м, то вторая сторона будет равна 15 м, и площадь будет равна $S=1cdot 15=15$ квадратных метров. Если одна сторона равна 2 м, то вторая сторона будет равна 14 м, и площадь будет равна $S=2cdot 14=28$ квадратных метров, и т.д.
Таким образом, участок с наибольшей площадью будет иметь форму квадрата, а его площадь будет равна 64 квадратных метра.
