Вопрос школьника
Луч KM пересекает параллельные плоскости α и β в точках M1 и М2, а луч КР- в точках Р1 и Р2 соответственно. Вычислите длину отрезка М1М2 , если
КМ1 = 8см.
М1 Р1 : М2 Р2 = 4 : 9
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством параллельных плоскостей: любые две параллельные плоскости пересекаются прямыми, параллельными между собой. Таким образом, лучи KM и КР являются соответственно такими прямыми для плоскостей α и β.
По условию, отрезок М1Р1 составляет 4/13 от отрезка М1М2. Аналогично, отрезок М2Р2 составляет 9/13 от отрезка М1М2. Таким образом, можно записать следующую систему уравнений:
М1Р1 = 4/13 * М1М2
М2Р2 = 9/13 * М1М2
Также известно, что КМ1 = 8 см. Обозначим длину отрезка М1М2 как х. Тогда можно записать следующую систему уравнений:
М1Р1 + Р1К = КМ1
М2Р2 + Р2К = КМ2
Подставляя первые два уравнения в систему с К, получаем:
4/13 * х + Р1К = 8
9/13 * х + Р2К = 8
Выразим Р1К и Р2К из этих уравнений:
Р1К = 8 — 4/13 * х
Р2К = 8 — 9/13 * х
Теперь подставим эти выражения во вторую систему уравнений:
М1Р1 + (8 — 4/13 * х) = КМ1
М2Р2 + (8 — 9/13 * х) = КМ2
Заметим, что отрезки М1Р1 и М2Р2 в сумме дают отрезок М1М2:
М1Р1 + М2Р2 = М1М2
Подставляя выражения для М1Р1 и М2Р2, получаем:
4/13 * х + 9/13 * х + 8 — 4/13 * х — 9/13 * х = х
Упрощая выражение, получаем:
5/13 * х + 8 = х
Откуда:
8 = 8/13 * х
х = 104/13 см
Таким образом, длина отрезка М1М2 равна 104/13 см.
