Вопрос школьника
Луч OP – биссектриса угла AOB, луч OQ – биссектриса угла BOP. Найдите угол AOB, если угол между биссектрисами углов AOP и BOQ равен 75°.
Ответ от учителя
Пусть угол AOP равен x, а угол BOQ равен y. Тогда, по определению биссектрисы, угол AOB равен 2x + 2y.
Также по условию задачи, угол между биссектрисами углов AOP и BOQ равен 75°. Это означает, что угол AOB делится этим углом на две равные части, то есть:
2x + 2y = 2 * 75°
x + y = 75°
Теперь воспользуемся теоремой синусов в треугольнике AOP:
sin(x) / OP = sin(75°) / OA
и в треугольнике BOQ:
sin(y) / OQ = sin(75°) / OB
Оба треугольника имеют общую сторону OP = OQ, поэтому можно записать:
sin(x) / sin(y) = OB / OA
Теперь воспользуемся теоремой синусов в треугольнике AOB:
OA / OB = sin(y) / sin(x)
Подставляем это выражение в предыдущее:
sin(x) / sin(y) = 1 / (sin(y) / sin(x))
sin^2(x) = sin^2(y)
Таким образом, sin(x) = sin(y), что возможно только если x = y или x + y = 180°. Но мы знаем, что x + y = 75°, поэтому x = y = 37.5°.
Тогда угол AOB равен:
2x + 2y = 2 * 37.5° + 2 * 37.5° = 150°
Ответ: угол AOB равен 150°.
