Вопрос школьника
Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если ∠АВС= ∠ABD, причем ∠ABC < 90°, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим, что такое луч ВА. Луч ВА — это линия, которая начинается в точке В и проходит через точку А, продолжаясь бесконечно далеко в этом направлении.
Теперь, если луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD, то он пересекает эту плоскость в некоторой точке. Обозначим эту точку как М. Тогда, по определению, луч ВМ лежит в плоскости CBD.
Рассмотрим треугольник АВМ. Из условия задачи, мы знаем, что ∠АВС= ∠ABD. Также, по построению, угол ВМС является вертикальным углом для угла АВС, а угол ВМD является вертикальным углом для угла АBD.
Так как вертикальные углы равны, то ∠ВМС= ∠АВС= ∠ABD= ∠ВМD.
Теперь рассмотрим треугольник ВМС. Угол ВМС равен углу ВМD, а угол ВСМ является вертикальным углом для угла ВАС, а угол ВДМ является вертикальным углом для угла ВАD.
Так как вертикальные углы равны, то ∠ВСМ= ∠ВДМ.
Таким образом, мы доказали, что углы ВМС и ВСМ равны, а значит, луч ВМ является биссектрисой угла CBD.
Итак, мы доказали, что если ∠АВС= ∠ABD, причем ∠ABC < 90°, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.
