Вопрос школьника
Лучи ОА и ОВ лежат в плоскости α. Луч ОС образует с ними равные углы. Какое положение на плоскости α занимает проекция луча ОС на эту плоскость? Рассмотрите три возможных случая:
а) данные углы острые;
б) данные углы прямые;
в) данные углы тупые.
Проверьте обратные утверждения.
Ответ от учителя
При решении данной задачи необходимо использовать геометрические знания о свойствах углов и проекций на плоскость.
а) Если углы между лучами ОА, ОВ и ОС острые, то проекция луча ОС на плоскость α будет лежать между лучами ОА и ОВ. Это можно объяснить следующим образом: так как углы между лучами ОА, ОВ и ОС острые, то луч ОС пересекает плоскость α внутри угла между лучами ОА и ОВ. При проекции луча ОС на плоскость α получается отрезок, лежащий внутри угла между лучами ОА и ОВ.
б) Если углы между лучами ОА, ОВ и ОС прямые, то проекция луча ОС на плоскость α будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку ОА, который проходит через точку пересечения лучей ОВ и ОС. Это можно объяснить следующим образом: так как углы между лучами ОА, ОВ и ОС прямые, то луч ОС пересекает плоскость α перпендикулярно лучу ОА. При проекции луча ОС на плоскость α получается отрезок, лежащий на серединном перпендикуляре к отрезку ОА.
в) Если углы между лучами ОА, ОВ и ОС тупые, то проекция луча ОС на плоскость α будет лежать за лучом ОВ. Это можно объяснить следующим образом: так как углы между лучами ОА, ОВ и ОС тупые, то луч ОС пересекает плоскость α за лучом ОВ. При проекции луча ОС на плоскость α получается отрезок, лежащий за лучом ОВ.
Обратные утверждения можно сформулировать следующим образом:
— Если проекция луча ОС на плоскость α лежит между лучами ОА и ОВ, то углы между лучами ОА, ОВ и ОС острые.
— Если проекция луча ОС на плоскость α лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ОА, который проходит через точку пересечения лучей ОВ и ОС, то углы между лучами ОА, ОВ и ОС прямые.
— Если проекция луча ОС на плоскость α лежит за лучом ОВ, то углы между лучами ОА, ОВ и ОС тупые.
