Вопрос школьника
Лучи ОА, ОВ и ОС делят развёрнутый угол MOL так, что угол LOA — прямой, а градусная мера угла LOC составляет 14/9 градусной меры угла МОА и 7/6 градусной меры угла LOB. Найдите градусную меру угла MOB.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой о делимости угла на равные части.
Из условия задачи известно, что угол LOA — прямой, а градусная мера угла LOC составляет 14/9 градусной меры угла МОА и 7/6 градусной меры угла LOB. Обозначим градусную меру угла MOA через x. Тогда градусная мера угла COB равна 7/6x, а градусная мера угла AOC равна 14/9x.
Согласно теореме о делимости угла на равные части, угол MOB делится лучом OC на две равные части, то есть градусные меры углов MOA и AOC должны быть равны. Таким образом, мы можем записать уравнение:
x + 14/9x = 7/6x + градусная мера угла MOB
Решая это уравнение относительно градусной меры угла MOB, получаем:
градусная мера угла MOB = x/9
Осталось найти значение x. Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике AOC:
sin(14/9x) / AO = sin(7/6x) / OC
Заметим, что угол AOC является острым, поэтому мы можем использовать теорему синусов. Также заметим, что AO = OC, так как угол LOA — прямой. Подставляя это в уравнение, получаем:
sin(14/9x) = sin(7/6x)
Преобразуем это уравнение, используя формулу синуса суммы:
2sin(7/18x)cos(7/18x) = sin(7/6x)
Далее, используя формулу двойного угла для косинуса, получаем:
2sin(7/18x)cos(7/18x) = 2cos^2(7/12x)sin(7/12x)
Сокращая на 2sin(7/18x), получаем:
cos(7/18x) = cos^2(7/12x)
Применяя формулу двойного угла для косинуса ещё раз, получаем:
cos(7/18x) = (1 + cos(7/6x)) / 2
Решая это уравнение относительно cos(7/6x), получаем:
cos(7/6x) = 2cos(7/18x) — 1
Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольнике MOA:
sin(x) / MO = sin(14/9x) / AO
Подставляя значение AO = OC = MO, получаем:
sin(x) = sin(14/9x)
Применяя формулу синуса суммы, получаем:
2sin(7/18x)cos(5/18x) = sin(14/9x)
Сокращая на sin(7/18x), получаем:
2cos(5/18x) = 2cos(14/18x)
Применяя формулу двойного угла для косинуса, получаем:
2cos^2(5/9x) — 1 = 2cos^2(7/9x) — 1
Решая это уравнение относительно cos^2(5/9x), получаем:
cos^2(5/9x) = cos^2(7/9x)
Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольнике LOB:
sin(7/6x) / OB = sin(x/9) / LO
Подставляя найденные значения sin(7/6x) и sin(x/9), получаем:
2cos(7/18x) — 1 / OB = sin(14/9x) / LO
Подставляя найденные значения sin(14/9x) и cos(7/18x), получаем:
2cos(7/18x) — 1 / OB = 2sin(7/18x)cos(5/18x) / LO
Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольнике AOB:
sin(x/9) / OB = sin(7/6x) / AO
Подставляя найденные значения sin(7/6x) и sin(x/9), получаем:
2cos(7/18x) — 1 / OB = 2sin(7/18x)cos(5/18x) / AO
Подставляя значение AO = OC = MO, получаем:
2cos(7/18x) — 1 / OB = 2sin(7/18x)cos(5/18x) / OC
Подставляя значение OC = LO, получаем:
2cos(7/18x) — 1 / OB = 2sin(7/18x)cos(5/18x) / LO
Теперь мы можем решить это уравнение относительно градусной меры угла MOB:
градусная мера угла MOB = arctan(2cos(7/18x) — 1 / (2sin(7/18x)cos(5/18x)))
Подставляя найденное значение градусной меры угла MOB в уравнение, получаем окончательный ответ.
