Вопрос школьника
Маховик гироскопа массой М = 1 кг в виде цилиндра радиусом R = 5 см из состояния покоя необходимо при постоянном по модулю угловом ускорении е раскрутить за т = 33,3 с до частоты вращения п = 20000 об/мин. Определите, момент какой величины должен создавать приводной электродвигатель.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса:
$$L = Iomega,$$
где $L$ — момент импульса, $I$ — момент инерции, $omega$ — угловая скорость.
Момент инерции цилиндра относительно его оси вращения равен:
$$I = frac{1}{2}MR^2.$$
Здесь $M$ — масса цилиндра, $R$ — радиус цилиндра.
Угловая скорость можно выразить через частоту вращения:
$$omega = 2pi n,$$
где $n$ — частота вращения в об/с.
Тогда момент импульса цилиндра после разгона будет равен:
$$L = Iomega = frac{1}{2}MR^2 cdot 2pi n = pi M R^2 n.$$
Закон сохранения момента импульса означает, что момент, создаваемый приводным электродвигателем, должен быть равен изменению момента импульса:
$$M_{text{привод}} = frac{L}{t} — M_{text{сопр}},$$
где $t$ — время разгона, $M_{text{сопр}}$ — момент сопротивления, возникающий при вращении цилиндра.
Момент сопротивления можно оценить как силу трения, возникающую между цилиндром и воздухом:
$$M_{text{сопр}} = Fr,$$
где $F$ — сила трения, $r$ — радиус цилиндра.
Сила трения можно оценить как:
$$F = mu mg,$$
где $mu$ — коэффициент трения, $m$ — масса цилиндра, $g$ — ускорение свободного падения.
Тогда момент сопротивления будет равен:
$$M_{text{сопр}} = mu mgr.$$
Подставляя все значения, получаем:
$$M_{text{привод}} = frac{pi M R^2 n}{t} — mu mgr.$$
Подставляя числовые значения, получаем:
$$M_{text{привод}} = frac{pi cdot 1 cdot 0.05^2 cdot 20000}{33.3} — 0.1 cdot 1 cdot 9.81 cdot 0.05 approx 15.7 text{ Нм}.$$
