Вопрос школьника
Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением ?=A+Bt+Ct2, где A=2 рад, B=32 рад/с, С=—4 рад/с2. Найти среднюю мощность , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J=100 кг*м2.
Ответ от учителя
Для нахождения средней мощности, развиваемой силами, действующими на маховик при его вращении, необходимо знать момент силы, действующей на маховик, и угловую скорость вращения маховика.
Момент силы, действующей на маховик, можно найти по формуле:
M = Jα,
где J — момент инерции маховика, α — угловое ускорение маховика.
Угловое ускорение маховика можно найти как производную угловой скорости по времени:
α = dω/dt,
где ω — угловая скорость маховика.
Угловая скорость маховика можно найти как производную угла поворота маховика по времени:
ω = dθ/dt,
где θ — угол поворота маховика.
Из уравнения в условии задачи можно найти угол поворота маховика:
θ = A*t + B*t^2/2 + C*t^3/3.
Тогда угловая скорость маховика будет равна:
ω = dθ/dt = A + B*t + C*t^2.
А угловое ускорение маховика будет равно:
α = dω/dt = B + 2*C*t.
Теперь можно найти момент силы, действующей на маховик:
M = Jα = 100*(32 + 2*(-4)*t) = 3200 — 800*t.
Средняя мощность, развиваемая силами, действующими на маховик, можно найти как среднее значение произведения момента силы на угловую скорость маховика за время вращения маховика до остановки:
P = (1/T)*∫(M*ω)dt,
где T — время вращения маховика до остановки.
Так как уравнение в условии задачи задает закон движения маховика до остановки, то можно найти время вращения маховика до остановки, приравняв угол поворота маховика к нулю:
0 = A*t + B*t^2/2 + C*t^3/3.
Решив это уравнение, получим:
t1 = 0,
t2 = -2.5,
t3 = 2.
Так как время не может быть отрицательным, то реальное время вращения маховика до остановки будет равно 2 секундам.
Тогда средняя мощность, развиваемая силами, действующими на маховик, будет равна:
P = (1/2)*∫(3200 — 800*t)*(2 + 32*t — 4*t^2)dt = 3200 Вт.
Ответ: средняя мощность, развиваемая силами, действующими на маховик при его вращении до остановки, равна 3200 Вт.
